La loi des mailles
Qu'est-ce qu'une maille
Branche :
Partie d’un réseau située entre deux nœuds consécutifs, composée d’un ou de plusieurs dipôles, elle est parcourue par un même courant (exemples : AH, BH, CI etc.).
Nœud :
Tout point d’un réseau où aboutissent plus de deux branches (exemples : BC, HIJ).
Maille :
Tout chemin constituant une boucle et formé de plusieurs branches (exemples : voir les schémas ci-dessous).
Les mailles sont de deux types : a) Les mailles simples (mailles 1 ,2 ,3) et les mailles complexes (mailles 4, 5, 6).
La maille simple est constituée par un boucle de base qui ne contient aucune autre boucle.
La maille complexe est constituée de plusieurs mailles simples qui contiennent plusieurs branches du circuit.
Loi des mailles (Gustav Kirchoff)
Dans une maille, la somme algébrique des tensions est nulle.
UAC + UCE + UEI + UIG + UGA = 0
Il est à remarquer que les branches composant une maille peuvent être parcourues par un courant dont la valeur est différente de celui d’une autre branche (exemple : IAB est différent de ICD)Example de calcul d'un circuit composé de deux mailles
Méthodologie appliquée au schéma 3
- S’il y a des éléments qui sont en série et / ou en parallèle dans une maille simple et dans des branches non partagées avec une autre maille, trouver la ou les résistance(s) équivalente(s).
- Choisir un même sens de circulation du courant pour toutes les mailles (généralement chronologique).
- Mettre en équation le calcul de la somme des tensions de chacune des mailles (∑V = 0).
- En réduisant les équations obtenues déterminer les différents courants.
- Connaissant les courants calculer les différentes tensions aux bornes des éléments de chacune des mailles.
- Contrôler si la somme des tensions de chacune des mailles donne bien une valeur = 0.
Simplification du schéma par calcul de la résistance équivalente dans la maille 1 et écriture de l'équation de tension de cette maille (schéma 4)
La seule résistance partagée par les deux mailles est la résistance R3. Elle est parcourue par le courant I1 dans le sens horlogique (celui que nous prendrons comme référence du sens de circulation positif) et par le courant I2 de sens contraire.
Les résistances R1, R2 et R4 sont toutes en série car dans la même maille et dans des branches non partagées.
La résistance équivalente Req1 a pour valeur : Req1 = R1 + R2 + R4.
L’équation de tension de la maille 1 est alors :
U1 – Req1 x I1 – R3 x I1 + R3 x I2 = 0.
Simplification du schéma par calcul de la résistance équivalente dans la maille 2 et écriture de l'équation de tension de cette maille (schéma 5)
Comme dans la maille 1, le calcul de la résistance équivalente aux trois résistances montées en série (R5, R6 et R7) a pour valeur : Req2 = R5 + R6 + R7.
Elle est parcourue par le courant I2 dans le sens horlogique et par le courant I1 de sens contraire.
L’équation de tension de la maille 2 est alors :
-U2 – Req2 x I2 – R3 x I2 + R3 x I1 = 0. U2 posé négativement car en opposition par rapport au choix du sens du courant I2
Calculs chiffrés (schémas 6 et 7)
Calculs des résistances équivalentes Req1 et Req2 (schéma 6).
Req1 = 2Ω + 1Ω + 1Ω = 4Ω.
Req2 = 1Ω + 0.5Ω + 0.5Ω = 2Ω.
Le schéma 7 montre la simplification du schéma 6 par ces deux résistances (fictives).
Les deux équations de tensions U1 et U2 deviennent avec les valeurs des résistances et des générateurs :
29 – 4 x I1 – 3 x I1 + 3 x I2 = 0 soit 29 – 7 x I1 + 3 x I2 = 0 (A).
5 – 2 x I2 – 3 x I2 + 3 x I1 = 0 soit -5 – 5 x I2 + 3 x I1 = 0 (B).
Réduction des équations A et B
La multiplication par 3 de l’équation A et la multiplication par 7 de l’équation B vont par addition des résultats permettre d’isoler la valeur du courant I2 :
de (A) x 3 ==> 87 – 21 I1 + 9 I2 = 0
de (B) x7 ==> -35 + 21 I1 – 35 I2 = 0
Ce qui donne : 52 – 26 I2 = 0 soit I2 = 2A
En reprenant cette valeur dans l’équation A on obtient 29 – 7 I1 + 6 = 0 soit I1 = 5 A
Les différentes tensions aux bornes des résistances sont :
UR1 = 1 x 5 = 5 V, UR2 = 2 x 5 = 10 V, UR3 = 3 x (5 – 2) = 9 V,
UR4 = 1 x 5 = 5 V, UR5 = 1 * 2 = 2V, UR6 et UR7 = 0.5 x 2 = 1 V.
Vérification par la loi des mailles :
Tension de maille 1 = 29 – (5 + 10 + 9 + 5 ) = 0 V
Tension de maille 2 = -5 – ( -9 + 2 + 1 + 1) = 0 V