Calculs des résistances équivalentes Req1 et req2 (schéma 6).
Req1 = 2Ω + 1Ω + 1Ω = 4Ω.
Req2 = 1Ω + 0.5Ω + 0.5Ω = 2Ω.
Le schéma 7 montre la simplification du schéma 6 par ces deux résistances (fictives).
Les deux équations de tensions U1 et U2 deviennent avec les valeurs des résistances et des générateurs :
29 – 4 x I1 – 3 x I1 + 3 x I2 = 0 soit 29 – 7 x I1 + 3 x I2 = 0 (A).
5 – 2 x I2 – 3 x I2 + 3 x I1 = 0 soit -5 – 5 x I2 + 3 x I1 = 0 (B).
Le réseau de dipôles passifs
Définition
Le circuit série
Dans ce type de montage la valeur du courant circulant dans les branches et les résistances est la même partout.
La tension d’entrée (E) se divise entre les trois résistances en fonction de la valeur ohmique de chacune d’elles.
E = U1 + U2 + U3
( E = tension aux bornes du dipôle (A,B), Ux = différence de potentiel aux bornes des résistances).
Le schéma 1 montre une partie d’un schéma électronique. Les points A et B sont les bornes du dipôle constitué par le raccordement de trois résistances en série, c’est-à-dire connectées l’une à la suite de l’autre.
Résistance équivalente
Le dipôle équivalent à un montage de plusieurs résistances en série est un dipôle composé d’une seule résistance dont la valeur ohmique est égale à la somme des valeurs ohmiques de chacune des résistances composant ce montage.
Dans le schéma 1 la résistance équivalente vaut :
Req = R1 + R2 + R3
La valeur du courant est : I1 = \(\large {E\ \over R_{eq}} \) ou I1 = \(\large {E\ \over R_1 + R_2 + R_3}\)
La différence de potentiel aux bornes de R1 est : U1 = I1 * R1, aux bornes de R2, U2 = I1 * R2, idem pour R3, U3 = I1 * R3.
En utilisant la loi d’Ohm, on trouve la valeur du courant passant dans cette partie de circuit comme étant égale à I = E / Req et, par conséquent, la différence de potentiel aux bornes des résistances est égale à : Un = Rn x I.
Le circuit parallèle
Dans ce type de montage, la tension E aux bornes A et B du dipôle est appliquée à chacune des résistances R1 et R2.
Le courant d’entrée I1 est divisé en deux courants I2 et I3 dont les valeurs sont égales à : E divisé par la valeur ohmique de la résistance pour chacune des branches. Le courant de sortie I4 est identique à celui d’entrée I1.
I2 = \(\large {E\ \over R_2} \)
I3 = \(\large {E\ \over R_1} \)
Le schéma 2 montre une partie d’un schéma électronique. Les points A et B sont les bornes du dipôle constitué par le raccordement de deux résistances en parallèle, c’est à dire branchées côte à côte.
Résistance équivalente
Le dipôle équivalent à un montage de plusieurs résistances en parallèle est un dipôle composé d’une seule résistance dont l’inverse de la valeur ohmique est égale à la somme des inverses des valeurs ohmiques de chacune des résistances composant ce montage.
\[ \frac{1}{R_{eq}} = \sum_{n=1}^n \frac{1}{R_n} \]
Dans le schéma 2 la résistance équivalente vaut : $$ {1\ \over R_{eq}} = {1\ \over R_1} + {1\ \over R_2}$$La valeur du courant passant dans une branche vaut : $${In = {E\ \over R_n}} $$ Le courant d’entrée I1 vaut : I1 = I2 + I3 = I4
Le circuit mixte
Le schéma 3 montre une partie d’un schéma électronique. Les points A et B sont les bornes du dipôle constitué par le raccordement de quelques résistances conjuguant série et parallèle.
Dans le schéma 3 la recherche des courants et des différences de potentiel se décompose en calculant les points suivants :
La résistance équivalente R1-2 de la partie série R1 et R2.
La résistance équivalente R3-4 de la partie parallèle R3 et R4.
On peut alors dessiner un circuit simplifié (schéma 4 Mixte simplifié) composé des deux résistances équivalentes R1-2 et R3-4 en série.
En appliquant la loi d’Ohm, la répartition de tension E aux bornes de chacune des deux résistances équivalentes est assez simple.
Par exemple si: R1 = R2 = 1kΩ, que R3 = R4 = 4 kΩ et que E = 8V, alors :
- La résistance équivalente de R1 et R2 (R1-2) en série est 1 + 1 = 2 kΩ
Celle de R3 et R4 (R3-4) en parallèle = (1/R3-4) = 1/4 + 1/4 = 2 kΩ. - La charge aux bornes du dipôle a pour valeur la résistance équivalente du circuit soit 2 + 2 = 4 kΩ.
I = U / R donne un courant I1 = 8 V/ 4kΩ = 2 mA.
Ces 2 mA créent une différence de potentiel (ddp) aux bornes de R1 et aux bornes de R2 de : 1kΩ * 2 mA = 2 V. Comme elles sont en série, elles sont parcourues par un même courant. - Les deux résistances R3 et R4 ont à leurs bornes 4 V reste de 8V (E) – 2V(UR1) – 2V(UR2).
Ces 4 V, créent un courant dans chacune des résistances R3 et R4 égal à 4V / 4kΩ = 1 mA.
En résumé on a :
UR1 = 2V, IR1 = 2mA . UR2 = 2V, IR2 = 2mA.
UR3 = 4V, IR3 = 1mA. UR4 = 4V, IR4 = 1mA.
I1 (2mA) = I2 (1mA) + I3 (1mA), Loi des nœuds.
UR1 (2V) + UR2 (2V) + UR3 (4V) = E = 8V (loi des mailles)